ペアノ曲線

ヒルベルト曲線と似たような手順で作るフラクタル,ペアノ曲線をやっていく¹.
どうも空間充填曲線の発見としてはこれが一番速いっぽい.
参考にしたのはここ²,わかりやすい.

手順に関してはまず図を描いてみた.

peano_01

まず一番基本となる動きは $P,Q,R,S$ の形である.
これは縦が横よりも大きく動くような計上なので、今回はY軸移動は2倍動くようにした.

auto dr = [&](Array<Direction> dirList)
{
    // 必要な線を構築
    for (auto& dir : dirList)
    {
        Vec2 temp = currentPos;
        switch (dir)
        {
        case Direction::up:
            currentPos.y -= LineOffset * 2.0; break;

        case Direction::right:
            currentPos.x += LineOffset; break;

        case Direction::down:
            currentPos.y += LineOffset * 2.0; break;

        case Direction::left:
            currentPos.x -= LineOffset; break;
        }

        lineList.push_back(Line{ temp, currentPos });
    }
};

そして、一番根本の形はそのまま定義してあげればよい.
例えばPであれば、上、右、下、右、上という動きになるため、そのまま組めば良い.

auto PRoot = [&]() {dr({ Direction::up, Direction::right, Direction::down, Direction::right, Direction::up }); };
auto QRoot = [&]() {dr({ Direction::up, Direction::left, Direction::down, Direction::left, Direction::up }); };
auto RRoot = [&]() {dr({ Direction::down, Direction::right, Direction::up, Direction::right, Direction::down }); };
auto SRoot = [&]() {dr({ Direction::down, Direction::left, Direction::up, Direction::left, Direction::down }); };

そしたら次に再帰.
再帰に関しては $n=0$ の時はRootを描くとして、それ以外の場合は9この矩形をなぞるように移動をする.
例えばPであれば、上、右、下、右、上という動きであった.
これを矩形でなぞっていくと、 $PQP \quad RSR \quad PQP$ というような感じになる.
あとはこれをそのままプログラムに落とし込めばよい.

P = [&](int n)
{
    if (n <= 0) { PRoot(); return; }
    P(n - 1); OffsetLine(Direction::up);
    Q(n - 1); OffsetLine(Direction::up);
    P(n - 1); OffsetLine(Direction::right);
    R(n - 1); OffsetLine(Direction::down);
    S(n - 1); OffsetLine(Direction::down);
    R(n - 1); OffsetLine(Direction::right);
    P(n - 1); OffsetLine(Direction::up);
    Q(n - 1); OffsetLine(Direction::up);
    P(n - 1);
};

$Q,R,S$ も同様に描く.
href="#__codelineno-3-1">Q = [&](int n) pan> if (n <= 0) { QRoot(); return; } Q(n - 1); OffsetLine(Direction::up); P(n - 1); OffsetLine(Direction::up); Q(n - 1); OffsetLine(Direction::left); S(n - 1); OffsetLine(Direction::down); R(n - 1); OffsetLine(Direction::down); S(n - 1); OffsetLine(Direction::left); Q(n - 1); OffsetLine(Direction::up); P(n - 1); OffsetLine(Direction::up); Q(n - 1); }; class="w"> = [&](int n) { if (n <= 0) { RRoot(); return; } R(n - 1); OffsetLine(Direction::down); S(n - 1); OffsetLine(Direction::down); R(n - 1); OffsetLine(Direction::right); P(n - 1); OffsetLine(Direction::up); Q(n - 1); OffsetLine(Direction::up); P(n - 1); OffsetLine(Direction::right); R(n - 1); OffsetLine(Direction::down); S(n - 1); OffsetLine(Direction::down); R(n - 1); }; class="w"> = [&](int n) { if (n <= 0) { SRoot(); return; } S(n - 1); OffsetLine(Direction::down); R(n - 1); OffsetLine(Direction::down); S(n - 1); OffsetLine(Direction::left); Q(n - 1); OffsetLine(Direction::up); P(n - 1); OffsetLine(Direction::up); Q(n - 1); OffsetLine(Direction::left); S(n - 1); OffsetLine(Direction::down); R(n - 1); OffsetLine(Direction::down); S(n - 1); };

これでペアノ曲線もできた、結果を見てみよう.

peano_02

うん、いい感じに模様が生成できている！