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Bernsley Fern(バーンズリーのシダ)

今回のフラクタルはシダを描いていく.
シダは見た目からして自己相似を含んでいるのは分かるが、これを実際に一定の操作のみで描くことが可能.
数式は例によってWiki1を参照していく.

計算としては非常に簡単で,以下のようなアフィン変換を座標に施すだけである.

f(x,y)=[abcd][xy]+[ef] \begin{equation} \begin{split} f(x,y) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e \\ f \end{bmatrix} \end{split} \end{equation}

という処理、このfを4つに分割して、離散確率分布を利用して参照していく.
4つのfはシダの茎,連続する小さい葉,左側の大きな葉,右側の大きな葉を表している.

この4つの係数は以下のような感じ.

シダの茎

f1(x,y)=[0000.16][xy]+[00](p=0.01) \begin{equation} \begin{split} f_{1}(x,y) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0.16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} (p=0.01) \end{split} \end{equation}

連続する小さい葉

f2(x,y)=[0.850.04−0.040.85][xy]+[01.6](p=0.85) \begin{equation} \begin{split} f_{2}(x,y) = \begin{bmatrix} 0.85 & 0.04 \\ -0.04 & 0.85 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1.6 \end{bmatrix} (p=0.85) \end{split} \end{equation}

左側の大きな葉

f3(x,y)=[0.2−0.260.230.22][xy]+[01.6](p=0.07) \begin{equation} \begin{split} f_{3}(x,y) = \begin{bmatrix} 0.2 & -0.26 \\ 0.23 & 0.22 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1.6 \end{bmatrix} (p=0.07) \end{split} \end{equation}

右側の大きな葉

f4(x,y)=[−0.150.280.260.24][xy]+[00.44](p=0.07) \begin{equation} \begin{split} f_{4}(x,y) = \begin{bmatrix} -0.15 & 0.28 \\ 0.26 & 0.24 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0.44 \end{bmatrix} (p=0.07) \end{split} \end{equation}

後はこれを実際にコードで書いてあげるだけ！

今回はTransform関係は以下のように定義.
2x2の行列はVec4で定義して、TranslationはVec2で表現.
mat2x2がなかったので,Vec4で代用した感じ.
3x3にしてもよかったけど、まあこれでもいいかぁという感じな怠惰. 

struct TransformFern
{
    Vec4 m_matrix;
    Vec2 m_translation;
};

次に4つのアフィン係数を定義.そのまま.

std::array<TransformFern, 4> Transform;
// シダの茎
Transform[0] = TransformFern{ Vec4{0.0,0.0,0.0,0.16}, Vec2{0.0, 0.0} };
// 連続する小さい葉
Transform[1] = TransformFern{ Vec4{0.85,0.04,-0.04,0.85}, Vec2{0.0, 1.6} };
// 左側の大きな葉
Transform[2] = TransformFern{ Vec4{0.2,-0.26,0.23,0.22}, Vec2{0.0, 1.6} };
// 右側の大きな葉
Transform[3] = TransformFern{ Vec4{-0.15,0.28,0.26,0.24}, Vec2{0.0, 0.44} };

確率も定義.重み付き分布関数を作りたいので、std::discete_distribution<size_t>を使って表現してみた.

Array<double> probabilities{ 0.01,0.85,0.07,0.07 };
std::random_device seed_gen;
std::uint32_t seed = seed_gen();
std::mt19937 engine(seed);
std::discrete_distribution<std::size_t> dist(
    probabilities.begin(),
    probabilities.end()
);

ここまでくれば後は処理.
初期位置は(x,y)=(0,0)とする.

auto MakeFern = [&](int loop)
{
    pointSet.clear();
    Vec2 point = Vec2::Zero();

    // ...
}

処理回数はloopで指定した回数.
ループ内ではまず最初にindexでどのfのアフィン変換を行うかを決定する.

    for (int i = 0; i < loop; i++)
    {
        auto index = dist(engine);

        // ...
    }

後は行列計算をしてtranslationを足せば終わり.

        // 位置を計算
        double tempX =
            point.x * Transform[index].m_matrix.x +
            point.y * Transform[index].m_matrix.y +
            Transform[index].m_translation.x;

        double tempY =
            point.x * Transform[index].m_matrix.z +
            point.y * Transform[index].m_matrix.w +
            Transform[index].m_translation.y;
        point = { tempX,tempY };

        // 追加
        pointSet.push_back(point);

結果を見てみよう.

BernsleyFern_01

うん、ちゃんとシダっぽいのが形成されている.
他にも種類があるっぽいので、別のも描画して遊んでみると面白いかもしれない.

  1. バーンズリーのシダ ↩