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レンズの結像式

横倍率

横倍率β\betaはβ=像サイズ物サイズ=y′y\beta = \frac{像サイズ}{物サイズ} = \frac{y^{\prime}}{y}と定義する.
FB=Z,Z′=F′B′FB=Z, Z^{\prime} = F^{\prime}B^{\prime}とする.
相似を考えると、△FBA∼△FHH2\triangle FBA \sim \triangle FHH_{2}なので、

AB:HH2=BF:FHy:−y′=−Z:−fy′Z=−fyy′y=−fZ \begin{equation*} \begin{split} AB:HH_2 &= BF:FH \\ y:-y^{\prime} &= -Z:-f \\ y^{\prime}Z &= -fy \\ \frac{y^{\prime}}{y} &= -\frac{f}{Z} \end{split} \end{equation*}

また、△F′H′H1′∼△F′B′A′\triangle F^{\prime}H^{\prime}H_{1}^{\prime} \sim \triangle F^{\prime}B^{\prime}A^{\prime}なので、

H′F′:F′B′=H1′H′:B′A′f′:Z′=y:−y′yZ′=−f′y′y′y=−Z′f′ \begin{equation*} \begin{split} H^{\prime}F^{\prime}:F^{\prime}B^{\prime} &= H_{1}^{\prime}H^{\prime}:B^{\prime}A^{\prime} \\ f^{\prime}:Z^{\prime} &= y:-y^{\prime} \\ yZ^{\prime} &= -f^{\prime}y^{\prime} \\ \frac{y^{\prime}}{y} &= -\frac{Z^{\prime}}{f^{\prime}} \end{split} \end{equation*}

よって、すべてを組み合わせると横倍率は以下のように書ける.

β=y′y=−fZ=−Z′f′ \begin{equation} \begin{split} \beta = \frac{y^{\prime}}{y} = -\frac{f}{Z} = -\frac{Z^{\prime}}{f^{\prime}} \tag{1-27} \end{split} \end{equation}

ニュートンの式

(1−27)(1-27)を式変形すると、

−fZ=−Z′f′ff′=ZZ′ \begin{equation} \begin{split} -\frac{f}{Z} &= -\frac{Z^{\prime}}{f^{\prime}} \\ ff^{\prime} &= ZZ^{\prime} \tag{1-28} \end{split} \end{equation}

これがニュートンの式である.
レンズが空気中の場合を考える、この場合焦点距離が等しいためf=−f′f=-f^{\prime}と言える.
ここで式変形をしてみる.

−Z′f′=−(Z+f)Z′(Z+f)f′ \begin{equation*} \begin{split} -\frac{Z^{\prime}}{f^{\prime}} &= -\frac{(Z+f)Z^{\prime}}{(Z+f)f^{\prime}} \end{split} \end{equation*}

ここでニュートンの式を式変形してZ=ff′Z′Z=\frac{ff^{\prime}}{Z^{\prime}}なので、これを入れると、

−Z′f′=−(ff′Z′+f)Z′(Z+f)f′=−ff′+fZ′(Z+f)f′=−(f′+Z′)f(Z+f)f′ \begin{equation*} \begin{split} -\frac{Z^{\prime}}{f^{\prime}} &= -\frac{(\frac{ff^{\prime}}{Z^{\prime}}+f)Z^{\prime}}{(Z+f)f^{\prime}} \\ &= -\frac{ff^{\prime}+fZ^{\prime}}{(Z+f)f^{\prime}} \\ &= -\frac{(f^{\prime}+Z^{\prime})f}{(Z+f)f^{\prime}} \end{split} \end{equation*}

ここで、f=−f′f=-f^{\prime}を使うと、

−Z′f′=−(f′+Z′)(−f′)(Z+f)f′=f′+Z′Z+f \begin{equation*} \begin{split} -\frac{Z^{\prime}}{f^{\prime}} &= -\frac{(f^{\prime}+Z^{\prime})(-f^{\prime})}{(Z+f)f^{\prime}} \\ &= \frac{f^{\prime}+Z^{\prime}}{Z+f} \end{split} \end{equation*}

ここで、図を見るとs=Z+f,s′=Z′+f′s=Z+f, s^{\prime}=Z^{\prime}+f^{\prime}なので、これを適用すると、

−Z′f′=f′+Z′Z+f=s′s \begin{equation*} \begin{split} -\frac{Z^{\prime}}{f^{\prime}} &= \frac{f^{\prime}+Z^{\prime}}{Z+f} = \frac{s^{\prime}}{s} \end{split} \end{equation*}

したがって、レンズが空気中の場合は(1−27)(1-27)の横倍率を使うと、これは以下のようになる.

β=−fZ=−Z′f′=f′+Z′Z+f=s′s \begin{equation} \begin{split} \beta = -\frac{f}{Z} = -\frac{Z^{\prime}}{f^{\prime}} = \frac{f^{\prime}+Z^{\prime}}{Z+f} = \frac{s^{\prime}}{s} \tag{1-27-1} \end{split} \end{equation}