レンズの屈折力とレンズの公式

入射波が光軸に平行ではない場合を考える.
この時も同様に$(1-21)$を考えることができるが、この時右辺の分は曲率の増加量と考えられる.
そのため、この曲率増加量をレンズの屈折力$K$とすると、以下のように表せる.

$$\begin{equation} \begin{split} K = (c_1-c_2)(n-1) \tag{1-22} \end{split} \end{equation}$$

また、レンズに入射する方の曲率を$\frac{1}{s}$,出射する方の曲率を$\frac{1}{s^\prime}$とすると、Kは曲率の増加量なので差を取ってあげると、

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{s^\prime} - \frac{1}{s} &= K \\ \frac{1}{s^\prime} &= \frac{1}{s} + K \tag{1-23} \end{split} \end{equation}$$

入射波面が平行の場合で考えると,平行だと$s=\infty$となるため、$\lim_{s \to \infty} \frac{1}{s}=0$となる.
逆に出射波面側はちゃんと位置があるので、$\frac{1}{s^{\prime}}$である.
この時焦点距離として$s^{\prime} = f$と考えると、$(1-23)$より$\frac{1}{f}=K$と言える.
これを$(1-23)$に代入すると、

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{s^{\prime}} &= \frac{1}{s} + \frac{1}{f} \tag{1-24} \end{split} \end{equation}$$

これがレンズの公式である.
また、$(1-22)$と$K=\frac{1}{f}$より、

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{f} = (c_1-c_2)(n-1) = (n-1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) \tag{1-25} \end{split} \end{equation}$$

レンズが平凸、つまり入射側は曲率があるが、出射側は曲がってない直線上なので、曲率が無限大となる.
式にすると$c_2 = \infty$というわけだが、これはつまり$r_2=\infty$ということである.
つまり$\lim_{r_2 \to \infty}\frac{1}{r_2} = 0$なので、これを$(1-25)$に適用すると、

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{f} = \frac{n-1}{r_1} \tag{1-26} \end{split} \end{equation}$$

と平凸の場合は言えるわけである.