入出波面の曲率半径

$(1-16)$の肉厚減少を考えると、この減少差は原点ととある高さでの肉質減少の幅と同じため、以下が成り立つ.

$$\begin{equation} \begin{split} d-t &= \frac{1}{2}c_{1}Y^{2} - \frac{1}{2}c_{2}Y^{2} \\ t &= d - \frac{1}{2}(c_{1} - c_{2})Y^{2} \tag{1-17} \end{split} \end{equation}$$

中心の光路長に関しては$(1-5)$より、

$$\begin{equation} \begin{split} L_{0}=nd \tag{1-18} \end{split} \end{equation}$$

$Y$の位置の光路長$L_{Y}$はこちらも同様に$(1-5)$で求める.
レンズの高さが変わらないという薄レンズ近似により,

$$\begin{equation*} \begin{split} L_{Yレンズ外} &= Z-t \\ L_{Yレンズ内} &= nt \end{split} \end{equation*}$$

より、

$$\begin{equation} \begin{split} L_{Y} = L_{Yレンズ外} +L_{Yレンズ内} = nt + Z - t \tag{1-19} \end{split} \end{equation}$$

光路長が等しい条件は$L_{0}=L_{Y}$なので、$(1-17)$より、

$$\begin{equation} \begin{split} nd &= nt + Z - t \\ &= n(d-\frac{1}{2}(c_1-c_2)Y^2) + Z - d + \frac{1}{2}(c_1-c_2)Y^2 \tag{1-20} \end{split} \end{equation}$$

Zについて整理をする.

$$\begin{equation} \begin{split} Z &= nd -nd +\frac{1}{2}n(c_1-c_2)Y^2 + d - \frac{1}{2}(c_1-c_2)Y^2 \\ &= d + \frac{1}{2}(c_1 - c_2)Y^{2}(n-1) \tag{1-21} \end{split} \end{equation}$$

これは$(Y,Z)=(d,0)$を頂点とした曲率$(n-1)(c_1-c_2)$の円と言える.