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レンズ表面を表す方程式

Z軸の中心を(0,0,r)(0,0,r),球面上の点を(x,y,z)(x,y,z)とすると、球面の方程式より,

(x−0)2+(y−0)2+(z−r)2=r2x2+y2+(z−r)2=r2 \begin{equation} \begin{split} (x-0)^2+(y-0)^2+(z-r)^2 &= r^2 \\ x^2+y^2+(z-r)^2 &= r^2 \tag{1-12} \end{split} \end{equation}

次にZについて変形をしていく.

x2+y2+z2−2rz=02rz=x2+y2+z2z=12r(x2+y2+z2) \begin{equation} \begin{split} x^2+y^2+z^2 - 2rz &= 0 \\ 2rz &= x^2 + y^2 + z^2 \\ z &= \frac{1}{2r}(x^2+y^2+z^2) \tag{1-13} \end{split} \end{equation}

近軸領域を考えるとレンズの原点近くでは、縦横の移動量は大きい、つまりx,yx,yの移動量は大きい.
一方でzzに関してはx,yx,yに比べてはるかに小さい移動量となると考えられる.
そのため、x2+y2>>z2x^2+y^2>>z^2と言えるので、x2+y2+z2≈x2+y2x^2+y^2+z^2 \approx x^2+y^2と考えられる.
これを適用すると

z≈12r(x2+y2) \begin{equation} \begin{split} z \approx \frac{1}{2r}(x^2+y^2) \tag{1-14} \end{split} \end{equation}

ここで曲率をc=1rc=\frac{1}{r}とすると、(1−14)(1-14)は以下のようになる.

z=12c(x2+y2) \begin{equation} \begin{split} z = \frac{1}{2}c(x^2+y^2) \tag{1-15} \end{split} \end{equation}

これがレンズを表す式となる.
今回は3Dで考えたけど、2Dの場合は次元を一つ下げるだけでよい.

z=12cy2 \begin{equation} \begin{split} z = \frac{1}{2}cy^2 \tag{1-16} \end{split} \end{equation}

これは肉厚、つまり高くなるほどどれだけ厚さが減るかを表す式となってる.