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フェルマーの原理による屈折

A->B->Cの光路長Lは、光路長の定義(1-5)より、

L=n1(x−0)2+(0−α)2+n2(d−x)2+(c−0)2=n1x2+α2+n2(d−x)2+c2 \begin{equation} \begin{split} L &= n_{1} \sqrt{(x-0)^2 + (0- \alpha)^2} + n_{2} \sqrt{(d-x)^2 + (c - 0)^2} \\ &= n_{1} \sqrt{x^2 + \alpha^{2}} + n_{2} \sqrt{(d-x)^2 + c^2} \tag{1-6} \end{split} \end{equation}

これをxについて微分すると、

dLdx=n12x2x2+α2+n2−2(d−x)2(d−x)2+c2=n1xx2+α2−n2(d−x)(d−x)2+c2 \begin{equation} \begin{split} \frac{dL}{dx} &= n_{1} \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + \alpha^{2}}} + n_{2} \frac{-2(d-x)}{2\sqrt{(d-x)^2 + c^2}} \\ &= \frac{n_{1}x}{\sqrt{x^2 + \alpha^{2}}} - \frac{n_{2}(d-x)}{\sqrt{(d-x)^2 + c^2}} \tag{1-7} \end{split} \end{equation}

dLdx=0\frac{dL}{dx}=0のとき、変化がなくなる点なのもあり、LLは極小となる.
そのため、フェルマーの原理はこの=0=0を適用すればいいので、

n1xx2+α2−n2(d−x)(d−x)2+c2=0 \begin{equation} \begin{split} \frac{n_{1}x}{\sqrt{x^2 + \alpha^{2}}} - \frac{n_{2}(d-x)}{\sqrt{(d-x)^2 + c^2}} = 0 \tag{1-8} \end{split} \end{equation}

また、図より三角形を考えると、sin⁡\sinの性質より以下が言える.

sin⁡θ1=xx2+α2 \begin{equation} \begin{split} \sin{\theta_{1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + \alpha^{2}}} \tag{1-9} \end{split} \end{equation}

sin⁡θ2=d−x(d−x)2+c2 \begin{equation} \begin{split} \sin{\theta_{2}} = \frac{d-x}{\sqrt{(d-x)^2 + c^2}} \tag{1-10} \end{split} \end{equation}

(1−9),(1−10)(1-9),(1-10)を(1−8)(1-8)に適用すると,

n1sin⁡θ1−n2sin⁡θ2=0n1sin⁡θ1=n2sin⁡θ2 \begin{equation} \begin{split} n_{1} \sin{\theta_1} - n_{2}\sin{\theta_2} = 0 \\ n_{1} \sin{\theta_1} = n_{2}\sin{\theta_2} \tag{1-2} \end{split} \end{equation}